年金と保険の手続きをしてきました。

年金は国民年金へ加入が必要です。
自分の場合は年金手帳を紛失してしまい、再交付もしてもらいました。
近くの社会保険事務所に出向き、年金手帳再交付の手続きを行えば即再交付してもらえます。
また、その場で国民年金への手続きもしてもらいました。
支払いは納付書が後日送られてくるので、それで振込みをするとのことです。

保険は一般に
・国民健康保険に加入
・社会保険任意継続をする
・家族の保険の被扶養に入る
の3択だと思います。
自分の場合は「社会保険任意継続」にしました。
このほうが保険料が安いようなので。
社会保険任意継続で支払う保険料は今まで収めていた金額の2倍になりますが、今日現在では上限が24320円なので、ほとんどの人はこの金額だと思います。
なお、加入できるのは2年間だけですので、それ以降は別の保険に入る必要があります。
支払いは月々場合、銀行振り込み、現金書留による郵送か保険組合窓口に支払いに行くかで納付します。
6ヶ月や1年のまとめ払いもOKだとのことですが、その間に転職や扶養に入る際には納付した金額が戻ってこないとのことなので、予定のある方は注意したほうが良いと思います。
また、扶養家族分もそのまま引き継げますので、そのあたり気にしている方も問題ないと思います。

手続きは簡単でしたが、一応まとめますと、

国民年金
手続き窓口
・市町村役場or社会保険事務所
もって行くもの
・年金手帳
・印鑑
・運転免許証

社会保険任意継続
手続き窓口
・前職が加入していた健康保険組合
もって行くもの
・保険所のコピー（事前にしておくと便利です）
・印鑑
・運転免許証