FireFoxではOKですが、IEだとセッションが切れてしまうという現象にぶつかりました。
結論から言うと、サブドメインに_（アンダーバー）が入っているURLはNGらしいです。

状況としては、アクセスするとURL以下にセッションIDが表示されているのでCookieが正しく動作していない様子。
同じアプリを別サイトで動かしたら正常動作するので、なぜか。。。と突き詰めていくと、アンダーバーがだめくさいということで、「サブドメイン アンダーバー」で検索してみると、
こちらに書いていますが、
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サブドメイン（だろうからドメインもそうなんだろう）にアンダーバー（ _ ）を含んだ場合、環境によりけりでCookieの発行が行えないんです。
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とのことです。

解決してよかった。