ログ周りやバックアップ周りを見直しました。

まず、Tomcatのログをローテートする設定にしました。
catalina.shを
org.apache.catalina.startup.Bootstrap "$@" start \
>> "$CATALINA_BASE"/logs/catalina.out 2>&1 &を
org.apache.catalina.startup.Bootstrap "$@" start \
| /usr/sbin/rotatelogs "$CATALINA_BASE"/logs/catalina.out.%Y%m%d 86400 2>&1 > /dev/null &
# >> "$CATALINA_BASE"/logs/catalina.out 2>&1 &に変更。
これで日付ごとにcatalina.outのファイルが分割されます。

mysqlのバックアップを
#!/bin/sh
BASE_DIR=バックアップスクリプトフォルダ
#DB設定
DB=DB名
SERVER=DBサーバ
USER=ユーザー名
PASS=パスワード
#一時保存ダンプファイル名
TEMP=$BASE_DIR/mono.dump
#バックアップフォルダ
BACKUP_DIR=$BASE_DIR/dump
#バックアップファイル名
DT=`date +%Y%m%d`
BACKUP_FILE=$BASE_DIR/dump/mono.$DT.tgz
mysqldump -u $USER -p$PASS -h $SERVER $DB > $TEMP
echo $BACKUP_FILE
tar -zPcf $BACKUP_FILE $TEMP
rm $TEMP
find $BACKUP_DIR -type f -name "*.tgz" -ctime +6 -exec rm -f {} \;↑で7日分DBのバックアップが保存されます。

find $BACKUP_DIR -type f -name "*.tgz" -ctime +6 -exec rm -f {} \;は、他でも使いまわせそうなので覚えておくと便利かと思います。